Question

已知函数f（x）=

x

x-1

，
（Ⅰ）求f（x）的定义域和值域；
（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（2，5）上的单调性，并用定义来证明所得结论．

Answer 1

考点：函数的值域,函数的定义域及其求法,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）f（x）=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

，由此能求出f（x）的定义域和值域．
（Ⅱ）由函数解析式得该函数在（2，5）是减函数，利用定义法能进行证明．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

，
∴f（x）的定义域为{x|x≠1}，
值域为{y|y≠1}．
（Ⅱ）由函数解析式得该函数在（2，5）是减函数，
下面证明此结论：
任取x₁，x₂∈（2，5），设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

x1

x1-1

-

x2

x2-1

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

，
∵2＜x₁＜x₂＜5，
∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．

点评：本题考查函数的定义域和值域的求法，考查函数的单调性的判断与证明，是基础题，解题时要注意定义法的合理运用．