Question

求定点（2a，0）和椭圆

x=4cosθ y=2 3 sinθ

（θ为参数）上各点连线的中点轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设动点P（x₀，y₀），PB的中点为Q（x，y），由中点坐标公式解出x₀=2x-2a，y₀=2y，将点P（2x-2a，2y）代入已知圆的方程，化简即可得到所求中点的轨迹方程．

解答： 解：椭圆

x=4cosθ y=2 3 sinθ

（θ为参数）的普通方程为：

x2

16

+

y2

12

=1，
设动点P（x₀，y₀），PB的中点为Q（x，y），定点（2a，0），
可得x=

1

2

（2a+x₀），y=

1

2

y₀，解出x₀=2x-2a，y₀=2y，
∵点P（x₀，y₀）即P（2x-2a，2y）在椭圆

x2

16

+

y2

12

=1上运动，
∴

(2x-2a)2

16

+

(2y)2

12

=1，化简得

(x-a)2

4

+

y2

3

=1，
即为所求动点轨迹方程为：

(x-a)2

4

+

y2

3

=1．

点评：本题给出定点与定曲线，求椭圆上动点与定点连线中点的轨迹方程．着重考查了椭圆的方程与动点轨迹方程求法等知识，属于中档题．