Question

已知A（1，0），B（0，1），C（3，4）
（1）求△ABC外接圆的方程
（2）以（3，1）为中点的弦EF所在的直线l交坐标轴于M，N，求△OMN的面积．

Answer 1

考点：圆的标准方程,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）设△ABC外接圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，把A（1，0），B（0，1），C（3，4）代入，能求出△ABC外接圆的方程．
（2）△ABC外接圆的圆心为P（2，2），设弦EF中点Q（3，1），所以PQ⊥EF，由此能求出△OMN的面积．

解答： 解：（1）设△ABC外接圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
已知A（1，0），B（0，1），C（3，4）
∴

1+D+F=0 1+E+F=0 9+16+3D+4E+F=0

，
解得D=-4，E=-4，F=3，
∴△ABC外接圆的方程为x²+y²-4x-4y+3=0，
即（x-2）²+（y-2）²=5．
（2）△ABC外接圆的圆心为P（2，2），设弦EF中点Q（3，1），
所以PQ⊥EF，
∵k_PQ=

2-1

2-3

=-1，∴kEF=

1

kPQ

=1，
∴直线EF的方程为y-1=x-3，即x-y-2=0，
∵直线EF与坐标轴交于M，N两点，
∴M（0，-2），N（2，0），如图，
△OMN的面积为

1

2

|OM||ON|=

1

2

×2×2=2．

点评：本题考查圆的方程的求法，考查三角形的面积的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．