题目内容
求证：关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断
专题：函数的性质及应用
分析：根据韦达定理证明充分性，必要性，从而得出它们的正确性，进而得出结论．
解答：
证明：（1）充分性：∵m≥2，∴△=m2-4≥0，
方程x2+mx+1=0有实根，
设x2+mx+1=0的两根为x1，x2，
由韦达定理知：x1x2=1＞0，∴x1、x2同号，
又∵x1+x2=-m≤-2，
∴x1，x2同为负根．
（2）必要性：∵x2+mx+1=0的两个实根x1，x2均为负，且x1•x2=1，
∴m-2=-（x1+x2）-2=-(x1+
)-2
=-
=-
≥0．
∴m≥2．综上（1），（2）知命题得证．
方程x2+mx+1=0有实根，
设x2+mx+1=0的两根为x1，x2，
由韦达定理知：x1x2=1＞0，∴x1、x2同号，
又∵x1+x2=-m≤-2，
∴x1，x2同为负根．
（2）必要性：∵x2+mx+1=0的两个实根x1，x2均为负，且x1•x2=1，
∴m-2=-（x1+x2）-2=-(x1+
| 1 |
| x1 |
=-
| x12+2x1+1 |
| x1 |
| (x1+1)2 |
| x1 |
∴m≥2．综上（1），（2）知命题得证．
点评：本题考查了充分必要条件，考查了二次函数的性质，韦达定理，是一道中档题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=ax3+bsin x+4（a，b∈R），f（
）=5，则f（-
）=（ ）
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| A、-5 | B、-1 | C、3 | D、4 |
下列各组两个集合M和N，表示同一集合的是（ ）
| A、M={π}，N={3.14159} |
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