Question

在椭圆中，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦，叫做椭圆的通径．如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，其离心率为

1

2

，通径长为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）过F₂的动直线l交椭圆于A、B两点，
（ⅰ）问在x轴上是否存在定点C，使

CA

•

CB

恒为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．
（ⅱ）延长BF₁交椭圆于点M，I₁、I₂分别为△F₁BF₂、△F₁MF₂的内心，证明四边形F₁I₂F₂I₁与△MF₂B的面积的比值恒为定值，并求出这个定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

c

a

=

1

2

，

2b2

a

=3，由此能求出椭圆的方程．
（2）（ⅰ）当直线BM的斜率不为0时，设BM：x=my+1，联立方程

x=my+1 3x2+4y2-12=0

得（3m²+4）y²+6my-9=0．由此能求出

CM

•

CB

=-

135

64

，直线BM的斜率为0时，

CM

•

CB

=-

135

64

也成立．所以在x轴上存在定点C(

11

8

，0)，使

CM

•

CB

为常数．
（ⅱ）椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，c=1，由已知条件推导出S△F1I1F2：S△F1BF2=1：3，S△F1I2F2：S△F1AF2=1：3．从而得到四边形F₁I₂F₂I₁与△AF₂B的面积的比值为

1

3

．

解答： （1）解：由

c

a

=

1

2

，得：a=2c．又通径长为3，
由x=c代入椭圆方程得y2=

b4

a2

，
则

2b2

a

=3，解得a=2，b=

3

．
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（2）（ⅰ）解：假设在x轴上存在定点C（n，0），使

CM

•

CB

为常数．
①当直线BM的斜率不为0时，设BM：x=my+1，
联立方程

x=my+1 3x2+4y2-12=0

得（3m²+4）y²+6my-9=0．
设B（x₁，y₁），M（x₂，y₂），
则△＞0恒成立，y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2=-

9

3m2+4

，…（6分）
所以（x₁-n）（x₂-n）=（my₁+1-n）（my₂+1-n）
=m2y1y2+m(1-n)(y1+y2)+(1-n)2
=-

9m2

3m2+4

-

6m2(1-n)

3m2+4

+(1-n)2
=

3m2n2-12m2+4n2-8n+4

3m2+4

，

CM

•

CB

=(x1-n)(x2-n)+y1y2=

3m2n2-12m2+4n2-8n-5

3m2+4

=n2-4-

8n-11

3m2+4

．
因为

CM

•

CB

与m无关，则n=

11

8

时，

CM

•

CB

=(

11

8

)2-4=-

135

64

．
②直线BM的斜率为0时，

CM

•

CB

=-

135

64

也成立
故在x轴上存在定点C(

11

8

，0)，使

CM

•

CB

为常数．…（10分）
（ⅱ）证明：椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，c=1，
设△F₁BF₂的内切圆的半径为r，
则S△F1BF2=

1

2

(|BF1|+|BF2|+|F1F2|)•r=3r，S△F1I1F2=

1

2

•|F1F2|•r=r．
则S△F1I1F2：S△F1BF2=1：3，同理得，S△F1I2F2：S△F1AF2=1：3．
所以，p=SF1I2F2I1：S△AF2B=1：3
四边形F₁I₂F₂I₁与△AF₂B的面积的比值为

1

3

．…（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查使得向量的数量积为常数的点的坐标是否存在的判断与求法，考查四边形与三角形的面积比恒定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．