Question

如图，已知开口向上的抛物线与x轴分别交于点A（m，0）和B（-3m，0）（其中m＜0），与y轴交于点C（0，-3）．点D在该抛物线上，CD∥AB．

（1）当m=-1时，求该抛物线所表示的函数关系式；
（2）在线段AB上是否存在点E，使得线段ED、BC互相垂直平分？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）设抛物线的顶点为F，作直线CF交x轴于点G，求证：

FC

CG

=

CD

GB

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出函数的表达式，代入C（0，-3），m=-1，求出即可；
（2）转化为证明四边形ECDB是菱形，根据菱形的定义判断即可；
（3）求出抛物线顶点坐标，从而求出直线FC的方程，解出G点坐标，从而求出比值．

解答： 解：（1）设函数为 y=a（x-m）（x+3m），（m＜0）
∵函数经过C（0，-3），带入解析式得：-3=-3am²
∵m=-1，∴a=1
∴函数式y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3=（x-1）²-4． 
（2）由（1）可得 A（-1，0）B（3，0）
当y=-3时，x=2或x=0，
∵C（0，-3），
∴D（2，-3）
如果要求ED，CB垂直平分，则就是ECDB为菱形．
就是要在x轴上找到E，使得EC∥DB，且EC=CD
可求出CD=2，BD=

10

，
∴以C，D，B，E为顶点的四边形是不可能构成菱形的，
所以不可能存在点E满足题意；
（3）由（1）得，抛物线的顶点F（1，-4），
又C（0，-3），所以CF直线解析式为：y=-x-3．
∴G（-3，0）
CF=

2

，CG=3

2

，CD=2，GB=6．
∴

FC

GC

=

CD

GB

=3．

点评：本题考查了求抛物线的解析式问题，考查了菱形的判定，考查了线段成比例问题，是一道综合题．