Question

已知等差数列{a_n}满足：a₂=5，a₄+a₆=22，{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求a_n及S_n； 
（2）若f（x）=

1

x2-1

，b_n=f（a_n）（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由已知可解得a₁，d的值，从而可求a_n及S_n； 
（2）由（1）及已知可求得b_n=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，从而可求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d
∵a₂=5，a₄+a₆=22，
∴a₁+d=5，2a₁+8d=22，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=2n+1，S_n=n²+2n．
（2）∵f（x）=

1

x2-1

，b_n=f（a_n），
∴b_n=

1

an2-1

，
∵a_n=2n+1∴an2-1=4n(n+1)，
∴b_n=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

4

(1-

1

n+1

)=

n

4(n+1)

．
所以数列{b_n}的前n项和S_n=

n

4(n+1)

．

点评：本题主要考察了等差数列的通项公式和求和公式的应用，属于基础题．