Question

已知{a_n}是公差为d的等差数列，?n∈N^*，a_n与a_n+1的等差中项为n．
（1）求a₁与d的值；
（2）设b_n=2ⁿ•a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）在等差数列{a_n}中，由a_n与a_n+1的等差中项为n，得a_n+a_n+1=2n，代入等差数列的通项公式后由系数相等求得首项和公差；
（2）由（1）求出{a_n}的通项，代入b_n=2ⁿ•a_n，分组后利用错位相减法求和．

解答： 解：（1）在等差数列{a_n}中，由a_n与a_n+1的等差中项为n，得a_n+a_n+1=2n，
即2a₁+（2n-1）d=2n，（2a₁-d）+2nd=2n，
∴

d=1 2a1-d=0

，解得

a1= 1 2 d=1

．
（2）由（1）知，an=a1+(n-1)d=

1

2

+n-1=n-

1

2

．
b_n=2ⁿ•a_n=(n-

1

2

)•2n．
∴Sn=(1-

1

2

)•21+(2-

1

2

)•22+(3-

1

2

)•23+…+(n-

1

2

)•2n
=(1•21+2•22+…+n•2n)-

1

2

(2+22+…+2n)
=(1•21+2•22+…+n•2n)-

1

2

•

2(1-2n)

1-2

=（1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ）+2ⁿ-1．
令Tn=1•21+2•22+…+n•2n，
则2Tn=1•22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1，
两式作差得：-Tn=2+22+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2．
∴Tn=(n-1)•2n+1+2．
∴Sn=(n-1)•2n+1+2n+1．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列的分组求和，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．