Question

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$\frac{a}{c}$cosB+$\frac{b}{c}$cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2cosC}$
（ I）求∠C的大小；
（ II）求sinB-$\sqrt{3}$sinA的最小值．

Answer 1

分析 （I）由正弦定理，得 $\frac{sin（A+B）}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{2cosC}$．即cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得C=$\frac{π}{6}$．
（II）sinB-$\sqrt{3}$sinA=sin（$\frac{5π}{6}-A$）-$\sqrt{3}$sinA$\frac{1}{2}cosA-\frac{\sqrt{3}}{2}sinA$=cos（A+$\frac{π}{3}$）
由A+B=$\frac{5π}{6}$，得A+$\frac{π}{3}$$∈（\frac{π}{3}，\frac{7π}{6}）$，cos（A+$\frac{π}{3}$）最小值为-1．即可得sinB-$\sqrt{3}$sinA的最小值

解答 解：（I）由正弦定理，得   $\frac{a}{c}=\frac{sinA}{sinC}$，$\frac{b}{c}=\frac{sinB}{sinC}$．
所以，$\frac{sinAcosB+cosAsinB}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{2cosC}$，即$\frac{sin（A+B）}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{2cosC}$．
∵A+B+C=π，∴sin（A+B）=sinC．
∴2cosC=$\sqrt{3}$，cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∵C∈（0，π），∴C=$\frac{π}{6}$．
（ II）∵A+B+C=π∴A+B=$\frac{5π}{6}$
∴sinB-$\sqrt{3}$sinA=sin（$\frac{5π}{6}-A$）-$\sqrt{3}$sinA=$\frac{1}{2}cosA-\frac{\sqrt{3}}{2}sinA$=cos（A+$\frac{π}{3}$），
∵A+B=$\frac{5π}{6}$，∴A$∈（0，\frac{5π}{6}）$，∴A+$\frac{π}{3}$$∈（\frac{π}{3}，\frac{7π}{6}）$
∴cos（A+$\frac{π}{3}$）最小值为-1．即sinB-$\sqrt{3}$sinA的最小值为-1．

点评 本题考查了三角恒等变形、正余弦定理的应用，属于中档题．