Question

9．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，四个顶点围成的四边形面积为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB．直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．设直线BD，AM的斜率分别为k₁，k₂，证明存在常数λ使得k₁=λk₂，并求出λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}×2a×2b$=4，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），D（x₂，y₂），则B（-x₁，-y₁），直线AB的斜率为k_AB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，又AB⊥AD，故直线AD的斜率为k=-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$．设直线AD的方程为y=kx+m，由题知km≠0．与椭圆方程联立得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．再利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}×2a×2b$=4，a²=b²+c²，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），D（x₂，y₂），则B（-x₁，-y₁），
直线AB的斜率为k_AB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，又AB⊥AD，故直线AD的斜率为k=-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$．
设直线AD的方程为y=kx+m，由题知km≠0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m}{1+4{k}^{2}}$．
由题意知x₁+x₂≠0，
∴k₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4k}$=$\frac{{y}_{1}}{4{x}_{1}}$，直线BD的方程为y+y₁=$\frac{{y}_{1}}{4{x}_{1}}$（x+x₁）．
令y=0，得x=3x₁，即M（3x₁，0），可得k₂=-$\frac{{y}_{1}}{2{x}_{1}}$，
∴k₁=-$\frac{1}{2}$k₂，即$λ=-\frac{1}{2}$．
因此存在常数$λ=-\frac{1}{2}$使得结论成立．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．