Question

10．已知函数f（x）=x²-1-2alnx（a≠0），求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 求函数的定义域和导数，分类讨论，利用函数单调性和极值与导数之间的关系即可得到结论．

解答 解：∵f（x）=x²-1-2alnx（a≠0）∴f（x）的定义域为{x|x＞0}，且$f'（x）=2x-\frac{2a}{x}=\frac{{2（{x^2}-a）}}{x}$
（1）当a＜0时，∵x＞0，且x²-a＞0，
∴f'（x）＞0对x＞0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值．
（2）当a＞0时
令f'（x）=0，即x²-a=0，解得$x=\sqrt{a}$或$x=-\sqrt{a}$（舍去）
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	$（0，\sqrt{a}）$	$\sqrt{a}$	$（\sqrt{a}，+∞）$
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

∴$当x=\sqrt{a}$时，f（x）取得极小值，极小值为$f（\sqrt{a}）={（\sqrt{a}）^2}-1-2aln\sqrt{a}=a-1-alna$．
综上，当a＜0时，函数f（x）在（0，+∞）上无极值；当a＞0时，f（x）在$x=\sqrt{a}$处取得极小值a-1-alna．

点评 本题主要考查函数单调性和极值，考查导数与函数单调性及极值的关系，考查分类讨论思想，属于中档题．