Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-2n．
（1）求数列{a_n的通项公式a_n；
（2）令b_n=

an

3n

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意得，当n=1时a₁=s₁=-1，当n≥2时a_n=s_n-s_n-1=2n-3，再验证n=1时是否成立即可；
（2）由（1）和题意求出b_n，利用错位相减法求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=s₁=1-2=-1…（2分）
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=n²-2n-[（n-1）²-2（n-1）]=2n-3…（4分）
又a₁=-1=2-3，也符合上式，…（5分）
因此，a_n=2n-3…（6分）
（2）由（1）得，b_n=

an

3n

=

2n-3

3n

，
所以T_n=-1×

1

3

+1×

1

32

+3×

1

33

+…+(2n-3)×

1

3n

   ①，

1

3

T_n=-1×

1

32

+1×

1

33

+3×

1

34

+…+(2n-3)×

1

3n+1

  ②，
①-②得，

2

3

T_n=-

1

3

+2（

1

32

+

1

33

+

1

34

+…+

1

3n

）-(2n-3)×

1

3n+1

=-

1

3

+2×

1 32 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-(2n-3)×

1

3n+1

=-

2n

3n+1

所以T_n=-

n

3n

．

点评：本题考查数列a_n和S_n的关系式的应用，以及错位相减法求数列的前n项和，属于中档题．