Question

若关于x的方程x²+ax+b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，3）内，记点（a，b）对应的区域为S．
（1）设z=2a-b，求z的取值范围；
（2）若点（a，b）∈S，求y=

4a2-4ab+b2+4028a-2014b+49

2a-b

的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令f（x）=x²+ax+b，根据题意可知f（0）＞0，f（1）＜0，f（3）＞0，进而求得b＞0，a+b+1＜0，3a+b+9＞0，画出可行域，进而分别求得z的最大和最小值，答案可得．
（2）令x=2a-b∈（-11，-2），则y=x+

49

x

+2014，根据导数的符号求得函数y在（-11，-7）上是增函数，在（-7，-2）上是减函数，从而求得函数y的值域．

解答： 解：（1）设f（x）=x²+ax+b，则由题意可得f（x）的零点一个在区间（0，1）内，另一个在区间（1，3）内，
故有

f(0)=b＞0 f(1)=a+b+1＜0 f(3)=3a+b+9＞0

，即

b＞0 a+b+1＜0 3a+b+9＞0

，由线性规划的知识画出可行域：以a为横轴，b纵轴，
再以z=2a-b为目标，点（a，b）对应的区域S如图阴影部分所示，
易得图中A，B，C三点的坐标分别为（-4，3），（-3，0），（-1，0），（4分）
（1）令z=2a-b，则直线b=2a-z经过点A时z取到下边界-11，经过点C时z取到上边界-2，
又A，B，C三点的值没有取到，所以-11＜z＜-2．
（2）若点（a，b）∈S，则2a-b∈（-11，-2），
y=

4a2-4ab+b2+4028a-2014b+49

2a-b

=

(2a-b)2+2014(2a-b)+49

2a-b

=（2a-b）+2014+

49

2a-b

．
令x=2a-b∈（-11，-2），则y=x+

49

x

+2014，令y′=1-

49

x2

=0，求得x=7（舍去），或 x=-7，
由于在（-11，-7）上，y′＞0，∴函数y在（-11，-7）上是增函数，
在（-7，-2）上，y′＜0，∴函数y是减函数．
∴当x=-7时，y_max=2000；当x=-11时，y=2013-

49

11

；当x=-2时，y=

3975

2

，
故函数y的范围为（

3975

2

，2000]．

点评：本题主要考查了一元二次方程根据的分布，以及线性规划的基本知识，利用导数研究函数的单调性，由单调性求函数的值域，考查了学生对基础知识的综合运用，属于中档题．