Question

设函数f（x）=2x³+tx²+x，g（x）=x²+tx+t+3，其中t∈R．已知函数g（x）有两个零点x₁，x₂，且0≤x₁＜1时，实数t的取值集合记为M．
（Ⅰ）求集合M；
（Ⅱ）f（x₁）+f（x₂）的取值范围．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）问题转化为方程x²+tx+t+3=0有2个根，根据△＞0，得到t的范围，从而求出集合M；
（Ⅱ）由韦达定理得：x₁+x₂=-t，x₁•x₂=t+3，从而f（x₁）+f（x₂）═-t³+4t²+11t，令h（t）=-t³+4t²+11t，（t＜-2或t＞6），求出h（t）的范围，从而得到答案．

解答： 解：（Ⅰ）由g（x）=x²+tx+t+3有2个零点，
即方程x²+tx+t+3=0有2个根，
∴△=t²-4（t+3）＞0，解得：t＜-2或t＞6，
∴M={t|t＜-2或t＞6}；
（Ⅱ）由韦达定理得：x₁+x₂=-t，x₁•x₂=t+3，
∴f（x₁）+f（x₂）
=（2x13+tx12+x₁）+（2x23+tx22+x₂）
=2（x₁+x₂）[(x1+x2)2-3x₁x₂]+t(x1+x2)2-2tx₁ x₂+（x₁+x₂）           
把x₁+x₂=-t，x₁•x₂=t+3，代入上式得：
f（x₁）+f（x₂）
=-2t[t²-3（t+3）]+t•t²-2（t+3）-t
=-t³+4t²+11t，
令h（t）=-t³+4t²+11t，（t＜-2或t＞6），
∴h′（t）=-3t²+8t+11=-（3t-11）（t+1），
当t＜-2时，h′（t）＜0，当t＞6时，h′（t）＜0，
∴h（t）在（-∞，-2）递减，在（6，+∞）递减，
而h（-2）=2，h（6）=-6，
∴h（t）＞2或h（t）＜-6，
∴f（x₁）+f（x₂）的取值范围是{h（t）|h（t）＜-6或h（t）＞2}．

点评：本题考查了函数的零点问题，韦达定理，转化思想，考查了函数的单调性问题，是一道中档题．