Question

已知等差数列{a_n}的前5项和为105，且a₂₀=2a₅．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；   
（Ⅱ）记b_n=

an•2n-1

7

．求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据等差数列的通项公式、前n项和公式，由题意列出关于首项和公差的方程组，求出首项和公差，再代入通项公式化简即可；
（Ⅱ）根据（I）和条件求出b_n，利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差是d，
因为前5项和为105，且a₂₀=2a₅，
所以

5a1+ 5×4 2 ×d=105 a1+19d=2(a1+4d)

，解得

a1= 21×11 13 d= 21 13

，
则a_n=

21×11

13

+（n-1）×

21

13

=

21

13

（n+1）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=

an•2n-1

7

=

3

13

（n+1）•2^n-1，
所以S_n=

3

13

[2•2⁰+3•2+4•2²+…+（n+1）•2^n-1]，①
2S_n=

3

13

[2•2+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ]，②
①-②得，-S_n=

3

13

[2+2+2²+…+2^n-1-（n+1）•2ⁿ]
=

3

13

[2+

2(1-2n-1)

1-2

-（n+1）•2ⁿ]=-

3n

13

•2n，
所以S_n=

3n

13

•2n．

点评：本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，以及错位相减法求数列的前n项和，考查了学生化简计算能力．