Question

8．在△ABC中，AB=AC，D为线段AC的中点，若BD的长为定值l，则△ABC面积的最大值为$\frac{2}{3}$$\sqrt{l}$（用l表示）．

Answer 1

分析 先在△ABD中利用余弦定理表示出cosA，进而求得sinA的表达式，进而代入三角形面积公式利用转化为二次函数来解决．

解答 解：cosA=$\frac{{b}^{2}+\frac{{b}^{2}}{4}{-l}^{2}}{2b•\frac{1}{2}b}$=$\frac{5}{4}$-${（\frac{l}{b}）}^{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$b²$\sqrt{1{-（\frac{5}{4}{-（\frac{l}{b}）}^{2}）}^{2}}$=$\frac{1}{8}$$\sqrt{-{9{（b}^{2}-\frac{20}{9}l）}^{2}+\frac{256}{9}l}$≤$\frac{2}{3}$$\sqrt{l}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$$\sqrt{l}$．

点评 本题主要考查了余弦定理和正弦定理的运用．解题过程中充分利用好等腰三角形这个条件，把表达式的未知量减到最少．