Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁ C₁中，侧棱AA₁⊥平面ABC，AB=BC=AA₁=2，AC=2

2

，E，F分别是A₁B，BC的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面A A_lC_lC；
（Ⅱ）证明：平面A₁ABB₁⊥平面BEC．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结A₁C₁，由三角形中位线定理得EF∥A₁C₁，由此能证明EF∥平面AA₁C₁C．
（Ⅱ）在△ABC中，由勾股定理得BC⊥AB，线面垂直得AA₁⊥BC，由此能证明平面A₁ABB₁⊥平面BEC．

解答： 证明：（Ⅰ）连结A₁C，
∵E，F分别为A₁B、BC的中点，
∴EF∥A₁C，
∵EF不包含于平面AA₁C₁C，A₁C?平面AA₁C₁C，
∴EF∥平面AA₁C₁C．
（Ⅱ）在△ABC中，AB=BC=AA₁=2，AC=2

2

，
∴AB²+BC²=AC²，∴BC⊥AB，
∵AA₁⊥面ABC，BC?平面ABC，
∴AA₁⊥BC，
∵AB∩A₁A=A，
∴BC⊥平面AA₁B₁B，
∵BC?平面BEC，
∴平面A₁ABB₁⊥平面BEC．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．