Question

如图甲，在直角梯形PBCD中，PB∥CD，CD⊥BC，BC=PB=2CD，A是PB的中点．现沿AD把平面PAD折起，使得PA⊥AB（如图乙所示），E、F分别为BC、AB边的中点．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角P-ED-F的正切值大小 
（Ⅲ）在PA上找一点G，使得FG∥平面PDE．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件得PA⊥AD，PA⊥AB，由此能证明PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）由已知条件推导出∠PEA是二面角的平面角，由此能求出二面角P-ED-F的正切值大小．
（Ⅲ）过点F作FH∥ED，交AD于H，再过H作GH∥PD，交PA于G，连结FG，再分别取AD、PA的中点M，N，连结BM、MN，由题意知H是AM中点，G是AN中点，从而当点G满足AG=

1

4

AP时，有FG∥平面PDE．

解答： （Ⅰ）证明：∵在直角梯形PBCD中，PB∥CD，CD⊥BC，
BC=PB=2CD，A是PB的中点，
∴PA⊥AD，
又∵PA⊥AB，AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：∵BC=PB=2CD，A是PB的中点，
∴ABCD是矩形，又E为BC边中点，
∴AE⊥ED，又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥ED，且PA∩AE=A，
∴ED⊥平面PAE，∴ED⊥PE，
∴∠PEA是二面角的平面角，
∵PA=AB=DC，AE=

2

PA，
∴tan∠PEA=

2

2

．
∴二面角P-ED-F的正切值为

2

2

．
（Ⅲ）解：过点F作FH∥ED，交AD于H，
再过H作GH∥PD，交PA于G，连结FG，
由FH∥ED，ED?平面PED，得FH∥平面PED，
由GH∥PD，PD?平面PED，得GH∥平面PED，
又FH∩GH=H，∴平面FHG∥平面PED，
再分别取AD、PA的中点M，N，连结BM、MN，
由题意知H是AM中点，G是AN中点，
从而当点G满足AG=

1

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AP时，有FG∥平面PDE．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查满足条件的点的判断与求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．