Question

17．已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）化C₁、C₂的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若曲线C₁和C₂相交于A，B两点，求|AB|

Answer 1

分析 （1）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数可得普通方程，表示一条直线．C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系可得普通方程，表示一个圆．
（2）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入代入曲线C₂整理可得：${t}^{2}-3\sqrt{2}$t+4=0，利用|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数可得：x-y+4=0，
曲线C₁为经过（-4，0）和（0，4）两点的直线．
C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系可得：（x+2）²+（y-1）²=1，
曲线C₂为以（-2，1）为圆心，1为半径的圆．
（2）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
代入曲线C₂整理可得：${t}^{2}-3\sqrt{2}$t+4=0，
设A，B对应参数分别为t₁，t₂，则t₁+t₂=3$\sqrt{2}$，t₁•t₂=4，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的互化、直线的参数方程中参数t的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．