Question

20．近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：
①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；
②求X的数学期望和方差．

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）由题意列出2×2列联表，计算观测值K²，对照数表即可得出正确的结论；
（2）根据题意，得出商品和服务都好评的概率，求出X的可能取值，计算对应的概率值，写出期望与方差．

解答 解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表为：

	对服务好评	对服务不满意	合计
对商品好评	80	40	120
对商品不满意	70	10	80
合计	150	50	200

计算观测值${K^2}=\frac{{200×{{（80×10-40×70）}^2}}}{150×50×120×80}≈11.111＞10.828$，
对照数表知，在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（6分）
（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为$\frac{2}{5}$，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5；
其中$P（X=0）={（\frac{3}{5}）^5}$；
$P（X=1）=C_5^1（\frac{2}{5}）{（\frac{3}{5}）^4}$；
$P（X=2）=C_5^2{（\frac{2}{5}）^2}{（\frac{3}{5}）^3}$；
$P（X=3）=C_5^3{（\frac{2}{5}）^3}{（\frac{3}{5}）^2}$；
$P（X=4）=C_5^4{（\frac{2}{5}）^4}{（\frac{3}{5}）^1}$；
$P（X=5）={（\frac{2}{5}）^5}$；
所以X的分布列为：

X	0	1	2	3	4	5
P	${（\frac{3}{5}）^5}$	$C_5^1（\frac{2}{5}）{（\frac{3}{5}）^4}$	$C_5^2{（\frac{2}{5}）^2}{（\frac{3}{5}）^3}$	$C_5^3{（\frac{2}{5}）^3}{（\frac{3}{5}）^2}$	$C_5^4{（\frac{2}{5}）^4}{（\frac{3}{5}）^1}$	${（\frac{2}{5}）^5}$

由于X～B（5，$\frac{2}{5}$），
则$EX=5×\frac{2}{5}=2$；
$DX=5×\frac{2}{5}×（1-\frac{2}{5}）=\frac{6}{5}$．（12分）

点评 本题主要考查了统计与概率的相关知识，包括独立性检验、离散型随机变量的分布列以及数学期望和方差的求法问题，也考查了对数据处理能力的应用问题．