Question

18．已知函数f（x）=e^x-1，g（x）=-x²+4x-3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围是（2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$），a的取值范围是（-∞，ln2]．

Answer 1

分析 根据函数的单调性求出函数f（x）的值域，从而得到g（b）的取值范围，解一元二次不等式即可求出所求，根据二次函数的性质求出g（x）的值域，从而得到f（a）的范围，解得即可．

解答 解：∵f（x）=e^x-1，在R上递增
∴f（a）＞-1则g（b）＞-1
∴-b²+4b-3＞-1即b²-4b+2＜0，解得2-$\sqrt{2}$＜b＜2+$\sqrt{2}$，
故b的取值范围为（2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$），
∵g（x）=-x²+4x-3=-（x-2）²+1≤1，
∴g（b）≤1，
∴f（a）≤1，
即e^a-1≤1，即e^a≤2，
解得a≤ln2，
故a的取值范围为（-∞，ln2]，
故答案为：（2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$），（-∞，ln2]．

点评 本题主要考查了函数的值域，以及函数的定义域和一元二次不等式的解法，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．