Question

3．已知，AB⊥平面BCD，CD⊥CB，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC．
（1）求AD与平面ABC所成角的大小；
（2）求二面角C-AD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，∠DAC就是AD与平面ABC所成的角，然后直接解直角三角形即可；
（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-AD-B的余弦值．

解答 解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，
所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，
所以∠DAC就是AD与平面ABC所成的角．
因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，
设AB=BC=2，则AD=4，AC=2$\sqrt{2}$，AC=2$\sqrt{3}$，
所以cos∠DAC=$\frac{AC}{AD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以∠DAC=45°，
所以AD与平面ABC所成角的大小为45°，
（2）由（1）可得BD=2$\sqrt{3}$，CD=2$\sqrt{2}$，
以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，2，2），B（0，2，0），C（0，0，0），D（2$\sqrt{2}$，0，0），
$\overrightarrow{CA}$=（0，2，2），$\overrightarrow{CD}$=（2$\sqrt{2}$，0，0），$\overrightarrow{BA}$=（0，0，2），$\overrightarrow{BD}$=（2$\sqrt{2}$，-2，0），
设平面ACD的平面的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=2y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=2\sqrt{2}x=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1），
设平面ABD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BA}=2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=2\sqrt{2}a-2b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{2}$，0），
设二面角C-AD-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角C-AD-B的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了二面角余弦值的求法，向量法的有效的解题方法，此题是中档题．