Question

设f₁（x）=

2

x+1

，而f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，n∈N^*，记a_n=

fn(2)-1

fn(2)+2

，则数列的通项公式a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：根据f₁（x）=

2

x+1

，定义f_n+1 （x）=f₁[f_n（x）]，a_n=

fn(2)-1

fn(2)+2

，（n∈N^*）．可得f₁（2）=

2

3

，a₁=-

1

8

，f_n+1（2）=f₁[f_n（2）]=

2

fn(2)+1

，从而可得a_n+1=-

1

2

a_n．可判断数列{a_n}是的等比数列，故可求数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：（1）∵f₁（2）=

2

3

，
∴a₁=

f1(2)-1

f1(2)+2

=

2 3 -1

2 3 +2

=-

1

8

，
又f_n+1（2）=f₁[f_n（2）]=

2

fn(2)+1

，
∴a_n+1=

fn+1(2)-1

fn+1(2)+2

=

2 fn(2)+1 -1

2 fn(2)+1 +2

=

1-fn(2)

4+2fn(2)

=-

1

2

•

fn(2)-1

fn(2)+2

=-

1

2

a_n．
∴数列{a_n}是首项为-

1

8

，公比为-

1

2

的等比数列，
∴a_n=（-

1

8

）•(-

1

2

)^n-1=

1

4

•(-

1

2

)n．
故答案为：

1

4

•(-

1

2

)n．

点评：本题考查函数与数列的综合、数列递推式及等比数列的通项公式，考查学生的推理论证能力，属中档题．