Question

函数f(n)=logn+1(n+2)(n∈N*)，定义使f（1）•f（2）•f（3）…f（k）为整数的数k（k∈N^*）叫做企盼数，则在区间[1，2013]内这样的企盼数共有

 

个．

Answer 1

考点：换底公式的应用

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：令g（k）=f（1）•f（2）•f（3）…f（k），利用对数的换底公式可得f（k）=log_（k+1）（k+2）=

lg(k+2)

lg(k+1)

，
得到g（k）=

lg3

lg2

×

lg4

lg3

×…×

lg(k+2)

lg(k+1)

=

lg(k+2)

lg2

=log₂（k+2）．
要使g（k）成为企盼数，则k+2=2ⁿ，n∈N^*．由于k∈[1，2013]，即2ⁿ∈[3，2015]即可得出．

解答： 解：令g（k）=f（1）•f（2）•f（3）…f（k），
∵f（k）=log_（k+1）（k+2）=

lg(k+2)

lg(k+1)

，
∴g（k）=

lg3

lg2

×

lg4

lg3

×…×

lg(k+2)

lg(k+1)

=

lg(k+2)

lg2

=log₂（k+2）．
要使g（k）成为企盼数，则k+2=2ⁿ，n∈N^*．
∵k∈[1，2013]，∴（k+2）∈[3，2015]，即2ⁿ∈[3，2015]．
∵2²=4，2¹⁰=1024，2¹¹=2048．
可取n=2，3，…，10．
因此在区间[1，2013]内这样的企盼数共有9个．

点评：本题考查了对数的换底公式、新定义企盼数的意义、指数幂2ⁿ的性质，属于基础题．