Question

已知a∈R，函数f（x）=

2

3

x³+2x²+ax+a²．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点x₁、x₂，求f（x₁）+f（x₂）的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）函数f（x）存在两个极值点，可得a＜2，利用x₁、x₂是函数f（x）的两个极值点，可得x₁+x₂=-2，x1x2=

a

2

，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=2x²+4x+a，△=16-8a．
当a≥2时，△≤0，f'（x）≥0，f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
当a＜2时，f（x）在(-∞，

-2- 4-2a

2

)和(

-2+ 4-2a

2

，+∞)上是增函数；
在(

-2- 4-2a

2

，

-2+ 4-2a

2

)上是减函数．
（Ⅱ）∵函数f（x）存在两个极值点，∴△=16-8a＞0，
∴a＜2．
又∵x₁、x₂是函数f（x）的两个极值点，∴x₁+x₂=-2，x1x2=

a

2

．
∴f（x₁）+f（x₂）=

2

3

(

x

3 1

+

x

3 2

)+2(

x

2 1

+

x

2 2

)+a(x1+x2)+2a2
=

2

3

(

x

1

+

x

2

)[(

x

1

+

x

2

)2-3x1x2]+2[(

x

1

+

x

2

)2-2x1x2]+a(x1+x2)+2a2
=

2

3

(-2)(4-

3a

2

)+2(4-a)-2a+2a2=2a2-2a+

8

3

=2(a-

1

2

)2+

13

6

．
∵a＜2，∴f(x1)+f(x2)≥

13

6

．

点评：本题的考点是利用导数研究函数的单调性，极值问题．属于中档题．