Question

已知：x+y+z=1，x²+y²+z²=2，x³+y³+z³=3，试求：
（1）xyz的值；
（2）x⁴+y⁴+z⁴的值．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由条件可得 （x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+xz）=1，求得xy+yz+xz=-

1

2

．再根据 x³+y³+z³-3xyz=（x+y+z）（x²+y²+z²-xy-yz-zx），求得xyz的值．
（2）把x²+y²+z²=2平方可得 x⁴+y⁴+z⁴ =4-2（x²•y²+y²•z²+x²•z²  ）．再根据x²•y²+y²•z²+x²•z²=（xy+yz+xz）²-2xyz（x+y+z），求得 x⁴+y⁴+z⁴ 的值．

解答： 解：（1）由条件可得 （x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+xz）=1，
即 1=2+2（xy+yz+xz），∴xy+yz+xz=-

1

2

．
再根据 x³+y³+z³-3xyz=（x+y+z）（x²+y²+z²-xy-yz-zx），
即3-3xyz=2+

1

2

，∴xyz=

1

6

．
（2）由题意可得 （x²+y²+z²）²=x⁴+y⁴+z⁴+2x²•y²+2y²•z²+2x²•z²=4，
∴x⁴+y⁴+z⁴ =4-2（x²•y²+y²•z²+x²•z²  ）．
由于（x²•y²+y²•z²+x²•z²  ）=（xy+yz+xz）²-2xyz（x+y+z）=(-

1

2

)2-2×

1

6

×1=-

1

12

，
∴x⁴+y⁴+z⁴ =4-2×（-

1

12

）=

25

6

．

点评：本题主要考查立方公式、完全平方公式的应用，转化变形是本题的难点，解答本题的关键是求出xy+yz+xz和xyz的值，属于中档题．