题目内容

已知曲线C：（5-m）x2+（m-2）y2=8（m∈R），直线l：y=kx+b（k，b∈R，kb≠0）与曲线C交于不同两点M、N，直线l与x轴交于点P．
（1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；
（2）若m=4．
①设b=2，若x轴上有一定点F（2，0），记△MNF的面积为S（k），求S（k）的最大值；
②设b=2k，若点T在x轴上，且|TM|=|TN|．
求证：
|PT|
|MN|
为定值．
考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）方程可改写为
x2
8
5-m
+
y2
8
m-2
=0，由椭圆的焦点在x轴上，得
7
2
＜m＜5．
（2）①m=4时，曲线C即为椭圆
x2
8
+
y2
4
=0，直线l与x轴交点为P（-
b
k
，0）．△MNF的面积S（k）=
1
2
|PF|•|yM-yN|=
1
2
|-
2
k
-2|•|2-
2-4k2
1+2k2
|，由此能求出S（k）的最大值为2+2
3
．
②b=2k时，点P（-
b
k
，0）即为P（-2，0）恰为椭圆C的左焦点．设M（x1，y1），N（x2，y2），MN中点为Q（x0，y0），利用椭圆的第二定义、点差法结合已知条件能证明
|TP|
|MN|
=
x0+4
2
2
|x0+4|
=
2
4
为定值．
解答： （1）解：曲线C表示椭圆，则5-m＞0，m-2＞0，
此时方程可改写为
x2
8
5-m
+
y2
8
m-2
=0，
又因为椭圆的焦点在x轴上，
所以
8
5-m
＞
8
m-2
＞0，
解得
7
2
＜m＜5．…（4分）
（2）①解：m=4时，曲线C即为椭圆
x2
8
+
y2
4
=0，
其左右焦点的坐标分别为（-2，0）、（2，0）．
由kb≠0，知k≠0，所以y=kx+b中，令y=0，得x=-
b
k
，
故直线l与x轴交点P的坐标为P（-
b
k
，0）．
b=2时，由
y=kx+2
x2
8
+
y2
4
=1
，得
x1=0
y1=2
或
x2=
-8k
1+2k2
y2=
2-4k2
1+2k2
，
从而椭圆C与直线l的交点M和N的坐标分别为：
M（0，2），N（
-8k
1+2k2
，
2-4k2
1+2k2
）或M（（
-8k
1+2k2
，
2-4k2
1+2k2
），N（0，2）．…（6分）
所以△MNF的面积S（k）=
1
2
|PF|•|yM-yN|=
1
2
|-
2
k
-2|•|2-
2-4k2
1+2k2
|，…（8分）
即S（k）=
8|k2+k|
1+2k2
．令t=
k2+k
1+2k2
，则关于k的二次方程（2t-1）k2-k+t=0有实数根，
所以当t≠
1
2
时，△=（-1）2-4（2t-1）t≥0，
解得
1-
3
4
≤t≤
1+
3
4
，且t=
1
2
也在此范围内，
特别地当k=
1+
3
2
时，t=
1+
3
4
．
故S（k）=
8|k2+k|
1+2k2
=8|t|的最大值为2+2
3
． …（10分）
②证明：b=2k时，点P（-
b
k
，0）即为P（-2，0）恰为椭圆C的左焦点．
设M（x1，y1），N（x2，y2），MN中点为Q（x0，y0），
x轴上点T坐标为（t，0），则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，
直线l的斜率k=
y1-y2
x1-x2
．
由P为左焦点，结合椭圆的第二定义得，
|MN|=|MP|+|NP|
=（
8
+
8-4
8
x1）+（
8
+
8-4
8
x2）
=4
2
+
1
2
(x1+x2)=
2
(4+x0)．…（12分）
由|TM|=|TN|知，T（t，0）在MN的垂直平分线，
即直线y-y0=-
1
k
（x-x0）上，
所以0-y0=-
1
k
（t-x0），（*）
将M（x1，y1），N（x2，y2）代入椭圆C方程，
得
x12+2y12=8
x22+2y22=8
，两式作差并整理得：
(x1+x2)+
2(y1-y2)
x1-x2
(y1+y2)=0，
即有x0+2ky0=0，
与（*）式联立解得t=
x0
2
，
所以|TP|=|t-xP|=|
x0
2
-(-2)|=
x0+4
2
，…（15分）
故
|TP|
|MN|
=
x0+4
2
2
|x0+4|
=
2
4
为定值．…（16分）
点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查两线段比值为定值的证明，解题时要认真审题，注意椭圆的第二定义、点差法的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
实数a，b，c成等比数列，那么关于x的方程ax2+bx+c=0（　　）
A、一定没有实根
B、一定有两个相同的实根
C、一定有两个不相同的实根
D、以上三种情况都可能出现
已知a∈R，函数f（x）=
2
3
x3+2x2+ax+a2．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点x1、x2，求f（x1）+f（x2）的取值范围．
设函数f（x）=mx3-3x+4，m∈R．
（Ⅰ）已知f（x）在区间（m，+∞）上递增，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）存在实数m，使得当x∈[0，2]时，2≤f（x）≤6恒成立，求m的值．
设椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的2倍，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为1．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆E交于A，B两点，且线段AB的中点为M（1，
1
4
），点A关于x轴的对称点为A′，求△ABA′的外接圆方程．
证明当a∈（0，+∞）时，2a-aln4a2≤1．
如图，在四棱锥S-ABCD中，SA=AB=2，SB=SD=2
2
，底面ABCD是菱形，
且∠ABC=60°，E为CD的中点．
（1）证明：CD⊥平面SAE；
（2）侧棱SB上是否存在点F，使得CF∥平面SAE？并证明你的结论．
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=
4
3
，（4n-1）an=3•4n-1Sn．
（Ⅰ）求数列{Sn}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=
n
3an
，若Tn为数列{bn}的前n项和，求
lim
n→∞
Tn的值．
设A（xA，yA），B（xB，yB）为平面直角坐标系上的两点，其中xA，yA，xB，yB∈Z．令△x=xB-xA，△y=yB-yA，若|△x|+|△y|=t（t∈Z），且|△x|•|△y|≠0，则称点B为点A的“t-相关点”，记作：B=[ω（A）]t．已知P0（x0，y0）（x0，y0∈Z）为平面上一个动点，平面上点列{Pi}满足：Pi=[ω（Pi-1）]t，且点Pi的坐标为（xi，yi），其中i=1，2，3，…，n．给出以下判断，其中正确的是
 

①若点M为点A的“t-相关点”，则点A也为点M的“t-相关点”．
②若点M为点A的“t-相关点”，点N也为点A的“t-相关点”，则点M为点N的“t-相关点”．
③当t=3时，P0的相关点有8个，且这8个点可能在一个圆周上，也可能不在一个圆周上；
④当t=3时，P0与Pn重合，则n一定为偶数．

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