Question

数列{a_n}满足a₁=3，且2，

an+1+an+1

，n+3成等比数列．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄以及数列{a_n}的通项公式a_n（要求写出推导过程）；
（Ⅱ）令T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…a_2na_2n+1，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意可得a_n+1+a_n+1=2（n+3），从而a_n+1=-a_n+2n+5，分别令n=1、2、3即可求得a₂，a₃，a₄，先猜想a_n，然后用数学归纳法可证明；
（Ⅱ）T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…a_2na_2n+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）=-2（a₂+a₄+…+a_2n），由等差数列的求和公式可得；

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得a_n+1+a_n+1=2（n+3），于是a_n+1=-a_n+2n+5，
故a₂=4，a₃=5，a₄=6；
猜想a_n=n+2，
下面用数学归纳法证明：
①a₁=3，猜想成立；
②假设n=k（k∈N^*）时，a_k=k+2，则a_k+1=-a_k+2k+5=-（k+2）+2k+5=（k+1）+2，即n=k+1时猜想成立．
综合①②，由数学归纳法原理知：a_n=n+2（n∈N^*）．
（Ⅱ）T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…a_2na_2n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）
=-2（a₂+a₄+…+a_2n）
=-2•

n(a2+a2n)

2

=-n（4+2n+2）=-2n²-6n．

点评：该题考查由递推式求数列通项、数列求和、数学归纳法等知识，考查学生的推理论证能力．