Question

设定义在R上的函数f（x），对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，恒有f（x）＞0，
（1）求f（0）；    
（2）判断该函数的奇偶性；
（3）求证：x∈R时 f（x）为单调递增函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由条件，令x=y=0，则f（0）=2f（0），即可得到f（0）；
（2）由条件可令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，由奇偶性的定义即可判断；
（3）设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，由于当x＞0时，恒有f（x）＞0，则f（x₂-x₁）＞0，即有f（x₂）+f（-x₁）＞0，再由（2）的结论和单调性的定义，即可判断．

解答： （1）解：对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，则f（0）=2f（0），
即有f（0）=0；
（2）解：函数的定义域为R，关于原点对称，
令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
即有f（-x）=-f（x），
则函数f（x）为奇函数；
（3）证明：设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
由于当x＞0时，恒有f（x）＞0，
则f（x₂-x₁）＞0，即有f（x₂）+f（-x₁）＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
故x∈R时，f（x）为单调递增函数．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的奇偶性、单调性的判断，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．