已知函数g(x)=x2-ax+b.其图象对称轴为直线x=2.且g=$\frac{g(x)}{x}$．(1)求实数a.b的值,(2)若不等式f(3x)-t•3x≥0在x∈[-2.2]上恒成立.求实数t的取值范围,(3)若关于x的方程f(|2x-2|)+k•$\frac{2}{|{2}^{x}-2|}$-3k=0有三个不同的实数解.求实数k的取值范围� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．已知函数g（x）=x²-ax+b，其图象对称轴为直线x=2，且g（x）的最小值为-1，设f（x）=$\frac{g（x）}{x}$．
（1）求实数a，b的值；
（2）若不等式f（3^x）-t•3^x≥0在x∈[-2，2]上恒成立，求实数t的取值范围；
（3）若关于x的方程f（|2^x-2|）+k•$\frac{2}{|{2}^{x}-2|}$-3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．

分析（1）根据函数g（x）=x²-ax+b，其图象对称轴为直线x=2，且g（x）的最小值为-1，可得实数a，b的值；
（2）若不等式f（3^x）-t•3^x≥0在x∈[-2，2]上恒成立，t≤$3•（\frac{1}{{3}^{x}}）^{2}-4（\frac{1}{{3}^{x}}）+1$在x∈[-2，2]上恒成立，进而得到实数t的取值范围；
（3）若关于x的方程f（|2^x-2|）+k•$\frac{2}{|{2}^{x}-2|}$-3k=0有三个不同的实数解，则方程t²-（4+3k）t+（3+2k）=0有两个根，其中一个在区间（0，2）上，一个在区间[2，+∞），进而可得实数k的取值范围．

解答解：（1）∵函数g（x）=x²-ax+b，其图象对称轴为直线x=2，
∴$\frac{a}{2}$=2，
解得：a=4，
当x=2时，函数取最小值b-4=-1，
解得：b=3，
（2）由（1）得：g（x）=x²-4x+3，
f（x）=x-4+$\frac{3}{x}$
若不等式f（3^x）-t•3^x≥0在x∈[-2，2]上恒成立，
则t≤$3•（\frac{1}{{3}^{x}}）^{2}-4（\frac{1}{{3}^{x}}）+1$在x∈[-2，2]上恒成立，
当3^x=$\frac{2}{3}$，即x=log₃2-1时，$3•（\frac{1}{{3}^{x}}）^{2}-4（\frac{1}{{3}^{x}}）+1$取最小值-$\frac{1}{3}$，
故t≤-$\frac{1}{3}$，
（3）令t=|2^x-2|，t≥0，
则原方程可化为：t+$\frac{3}{t}$-4+$\frac{2k}{t}$-3k=0，
即t²-（4+3k）t+（3+2k）=0，
若关于x的方程f（|2^x-2|）+k•$\frac{2}{|{2}^{x}-2|}$-3k=0有三个不同的实数解，
则方程t²-（4+3k）t+（3+2k）=0有两个根，
其中一个在区间（0，2）上，一个在区间[2，+∞），
令h（t）=t²-（4+3k）t+（3+2k），
则$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\ h（0）＞0\\ h（2）≤0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}（4+3k）^{2}-4（3+2k）＞0\\ 3+2k＞0\\ 4-2（4+3k）+（3+2k）≤0\end{array}\right.$，
解得：k∈[-$\frac{1}{4}$，+∞）

点评本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数恒成立问题，方程根的个数，转化思想，难度中档．

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C．

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D．

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