题目内容
17．
已知直线l的方程为x=-2，且直线l与x轴交于点M，圆O：x2+y2=1与x轴交于A，B两点．（1）过M点的直线l1交圆于P、Q两点，且圆孤PQ恰为圆周的$\frac{1}{4}$，求直线l1的方程；
（2）若椭圆中a，c满足$\frac{a^2}{c}$=2，求中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程；
（3）过M点作直线l2与圆相切于点N，设（2）中椭圆的两个焦点分别为F1，F2，求三角形△NF1F2面积．
分析 （1）由PQ为圆周的$\frac{1}{4}$，可得$∠POQ=\frac{π}{2}$．O点到直线l1的距离为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（2分）再利用点到直线的距离公式即可得出．
（2）设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，半焦距为c，则$\frac{a^2}{c}=2$，利用椭圆与圆的对称性质即可得出．
（3）设切点为N，则由题意得，在Rt△MON中，MO=2，ON=1，则∠NMO=30°，N点的坐标为$（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，再利用三角形面积计算公式即可得出．
解答 
解：（1）∵PQ为圆周的$\frac{1}{4}$，∴$∠POQ=\frac{π}{2}$．∴O点到直线l1的距离为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（2分）
设l1的方程为y=k（x+2），∴$\frac{|2k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴${k^2}=\frac{1}{7}$．∴l1的方程为$y=±\frac{{\sqrt{7}}}{7}（x+2）$．…（5分）
（2）设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，半焦距为c，则$\frac{a^2}{c}=2$．∵椭圆与圆O恰有两个不同的公共点，根据椭圆与圆的对称性
则a=1或b=1．…（6分）
当a=1时，$c=\frac{1}{2}，{b^2}={a^2}-{c^2}=\frac{3}{4}$，∴所求椭圆方程为${x^2}+\frac{{4{y^2}}}{3}=1$；…（8分）
当b=1时，b2+c2=2c，∴c=1，∴a2=b2+c2=2．
所求椭圆方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（10分）
（3）设切点为N，则由题意得，在Rt△MON中，MO=2，ON=1，则∠NMO=30°，
N点的坐标为$（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，…（11分）
若椭圆为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．其焦点F1，F2
分别为点A，B故${S_{△N{F_1}{F_2}}}=\frac{1}{2}×2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（13分）
若椭圆为${x^2}+\frac{{4{y^2}}}{3}=1$，其焦点为${F_1}（-\frac{1}{2}，0），{F_2}（\frac{1}{2}，0）$，
此时${S_{△N{F_1}{F_2}}}=\frac{1}{2}×1×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$…（16分）
点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、圆的切线的性质、三角形面积计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
| A． | a＜b＜c | B． | a＜c＜b | C． | c＜a＜b | D． | c＜b＜a |