Question

18．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=BC=$\frac{1}{2}$AA₁=2，D是AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求直线AC与平面A₁BD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AB₁交A₁B于O，则O为AB₁的中点，连接OD，结合D是AC的中点，可得OD∥B₁C，再由线面平行的判定得B₁C∥平面A₁BD；
（2）由AA₁⊥底面ABC，AC⊥BC，分别以CA、CB、CC₁所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，进一步求出$\overrightarrow{CA}$及平面A₁BD的一个法向量的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线AC与平面A₁BD所成角的正弦值．

解答 （1）证明：连接AB₁交A₁B于O，则O为AB₁的中点，连接OD，
又D是AC的中点，∴OD∥B₁C，
又OD?平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD；
（2）解：∵AA₁⊥底面ABC，AC⊥BC，
∴分别以CA、CB、CC₁所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
∵AC=BC=$\frac{1}{2}$AA₁=2，
∴C（0，0，0），A（2，0，0），D（1，0，0），B（0，2，0），
A₁（2，0，4），
则$\overrightarrow{CA}=（2，0，0）$，$\overrightarrow{DB}=（-1，2，0）$，$\overrightarrow{D{A}_{1}}=（1，0，4）$，
设平面A₁BD的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{m}=-x+2y=0}\\{\overrightarrow{D{A}_{1}}•\overrightarrow{m}=x+4z=0}\end{array}\right.$，取z=-1，得$\overrightarrow{m}=（4，2，-1）$，
∴直线AC与平面A₁BD所成角的正弦值为sinθ=|$\frac{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{m}|}$|=|$\frac{2×4}{2×\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}+（-1）^{2}}}$|=$\frac{4\sqrt{21}}{21}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，训练了利用空间向量求线面角，是中档题．