Question

函数f（x）=|x²-2ax+a|（x∈R），下列说法中正确的是

 

．（填写正确的序号）
①当a=0时，f（x）是偶函数；       
②f（x）一定存在零点；
③f（x）在区间（-∞，a]上单调递减；    
④当0＜a＜1时，f（x）的最小值为a-a²．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：函数f（x）=|x²-2ax+a|的图象，是由函数y=x²-2ax+a的图象经过纵向对折变换得到的，结合二次函数的图象和性质，函数奇偶性的定义，零点的定义，函数的单调性和最值，逐一判断四个结论，可得答案．

解答： 解：当a=0时，f（x）=x²，f（-x）=（-x）²=x²=f（x），故f（x）是偶函数，即①正确；
∵x²-2ax+a=0的△=4a²-4a，当a∈（0，1）时，△＜0，y=x²-2ax+a的图象与x轴无交点，则函数f（x）=|x²-2ax+a|的图象与x轴也无交点，故f（x）不一定存在零点，故②错误；
函数y=x²-2ax+a在区间（-∞，a]上单调递减，当其图象与x轴有两个交点时，经过纵向对折变换所得函数f（x）=|x²-2ax+a|在（-∞，x₁]上单调递减，在[x₁，a]单调递增，（x₁是函数y=x²-2ax+a较小的零点），故③错误；
当0＜a＜1时，y=x²-2ax+a的图象与x轴无交点，此时x²-2ax+a＞0恒成立，故f（x）=|x²-2ax+a|=x²-2ax+a，其最小值为a-a²．故④正确；
故答案为：①④

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数奇偶性的定义，零点的定义，函数的单调性和最值，函数图象的对折变换，综合性强，属于难题．