Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=

1

3

S_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）当b_n=log

4

3

（4a_n+1）时，求数列{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n；．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差得：an+1=

4

3

an（n≥2）．再由a₁=1求得a₂，可得数列{a_n}从第二项起是以

1

3

为首项，以

4

3

为公比的等比数列．由此求得数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）由b_n=log

4

3

（4a_n+1）=log

4

3

(

4

3

)n=n，代入

1

bnbn+1

，然后利用裂项相消法求数列{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）由a_n+1=

1

3

S_n，得an=

1

3

Sn-1（n≥2）．
两式作差得：an+1-an=

1

3

an，即an+1=

4

3

an（n≥2）．
又a₁=1，∴a2=

1

3

S1=

1

3

，
∴数列{a_n}从第二项起是以

1

3

为首项，以

4

3

为公比的等比数列．
则an=

1

3

•(

4

3

)n-2（n≥2）．
∴an=

1，n=1 1 3 •( 4 3 )n-2，n≥2

；
（2）b_n=log

4

3

（4a_n+1）=log

4

3

(

4

3

)n=n．

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．