Question

如图，已知抛物线y²=4x的焦点为F，过点P（2，0）且斜率为k₁的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点M、N．
（Ⅰ）证明

OA

•

OB

的值与k₁无关；
（Ⅱ）记直线MN的斜率为k₂，证明

k1

k2

为定值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得y₁y₂，进而求出x₁x₂，根据向量数量积运算公式，可得

OA

•

OB

的值与k₁无关；
（Ⅱ）设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），设直线AM的方程为x=ny+1，将其代入y²=4x，消去x，得到关于y的一元二次方程，从而得y₁y₃=-4，同理可得 y₂y₄=-4，根据斜率公式可把

k1

k2

表示成关于y₁与y₂的表达式，再借助（Ⅰ）的结果即可证明．

解答： 证明：（Ⅰ）依题意，设直线AB的方程为x=my+2（m≠0）． …（1分）
将其代入y²=4x，消去x，整理得 y²-4my-8=0．…（2分）
从而y₁y₂=-8，
于是x1x2=

y 2 1

4

•

y 2 2

4

=

64

16

=4，…（3分）
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=4-8=-4与k₁无关．  …（5分）
（Ⅱ）设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）．
则 

k1

k2

=

y1-y2

x1-x2

×

x3-x4

y3-y4

=

y1-y2

y12 4 - y22 4

×

y32 4 - y42 4

y3-y4

=

y3+y4

y1+y2

．…（8分）
设直线AM的方程为x=ny+1（n≠0），将其代入y²=4x，消去x，
整理得 y²-4ny-4=0
∴y₁y₃=-4．
 同理可得 y₂y₄=-4．                …（10分）
故

k1

k2

=

y3+y4

y1+y2

=

-4 y1 + -4 y2

y1+y2

=

-4

y1y2

，…（11分）
由（Ⅰ）知，y₁y₂=-8，
∴

k1

k2

=

1

2

为定值．         …（12分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及抛物线的简单性质，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．