Question

（1）已知曲线 y=x³+x-2 在点 P₀处的切线 l₁ 平行直线4x-y-1=0，且点 P₀在第三象限，求P₀的坐标；
（2）函数f（x）=x²+（2-a）x+a-1是偶函数，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据导数的几何意义即可得到结论．
（2）根据函数奇偶性的定义求出a的值，然后利用导数的几何意义即可求出切线方程．

解答： 解：（1）设P₀（x，y），则y=x³+x-2 在点 P₀处的切线 l₁ 的斜率k=f′（x）=3x²+1
∵4x-y-1=0的斜率k=4，切线 l₁ 平行直线4x-y-1=0，
∴k=f′（x）=3x²+1=4，
即x²=1，解得x=±1，
∵点 P₀在第三象限，
∴x=-1，此时y=-4，
即P₀的坐标（-1，-4）；
（2）若函数f（x）=x²+（2-a）x+a-1是偶函数，则2-a=0，解得a=2，
则此时f（x）=x²+1，则f（1）=2，
函数的导数为f′（x）=2x，
则曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率k=f′（1）=2，
则切线方程为y-2=2（x-1），
即y=2x．

点评：本题主要考查函数切线的求解，利用导数的几何意义是解决本题的关键．