Question

若正实数x，y满足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a²+2a+2xy-34≥0恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：原不等式恒成立可化为xy≥

2a2-a+17

2a2+1

恒成立，由基本不等式结合不等式的解法可得xy≥2，故只需2≥

2a2-a+17

2a2+1

恒成立，解关于a的不等式可得．

解答： 解：∵正实数x，y满足x+2y+4=4xy，可得x+2y=4xy-4，
∴不等式（x+2y）a²+2a+2xy-34≥0恒成立，
即（4xy-4）a²+2a+2xy-34≥0恒成立，
变形可得2xy（2a²+1）≥4a²-2a+34恒成立，
即xy≥

2a2-a+17

2a2+1

恒成立，
∵x＞0，y＞0，∴x+2y≥2

2xy

，
∴4xy=x+2y+4≥4+2

2xy

，
即2(

xy

)2-

2

•

xy

-2≥0，解不等式可得

xy

≥

2

，或

xy

≤-

2

2

（舍负）
可得xy≥2，要使xy≥

2a2-a+17

2a2+1

恒成立，只需2≥

2a2-a+17

2a2+1

恒成立，
化简可得2a²+a-15≥0，
即（a+3）（2a-5）≥0，解得a≤-3或a≥

5

2

，
故答案为：(-∞，-3]∪[

5

2

，+∞)

点评：本题考查基本不等式的应用，涉及恒成立问题，变形并求出需要的最小值是解决问题的关键，属中档题．