题目内容
函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点分别为-1，3．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间与极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间与极值．
考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性
专题：综合题,导数的概念及应用
分析：（Ⅰ）先求出f（x）的导数，令导数f′（x）=0，求出极值点，在方程组求解a，b的值．
（Ⅱ）先求出f（x）导函数，f′（x）＞0，f′（x）＜0，列表判断单调区间，极大值，极小值，Ⅰ
再代入f（x）求大小即可
（Ⅱ）先求出f（x）导函数，f′（x）＞0，f′（x）＜0，列表判断单调区间，极大值，极小值，Ⅰ
再代入f（x）求大小即可
解答：
解：（Ⅰ）函数f（x）=x3+ax2+bx，f′（x）=3x2+2ax+b，
∵函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点分别为-1，3，
∴-1，3是方程f′（x）=0的两个根，
由根与系数的关系得
，解得
；
（Ⅱ）f（x）=x3-3x2-9x，f′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3），列表可得
f（-1）=5，f（3）=-27，
所以 f（x）=x3-3x2-9x在（-∞，-1），（3，+∞）为增函数，（-1，3）为减函数，
极大值为5，极小值为-27．
∵函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点分别为-1，3，
∴-1，3是方程f′（x）=0的两个根，
由根与系数的关系得
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（Ⅱ）f（x）=x3-3x2-9x，f′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3），列表可得
| x | （-∞，-1） | -1 | （-1，3） | 3 | （3，+∞） |
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以 f（x）=x3-3x2-9x在（-∞，-1），（3，+∞）为增函数，（-1，3）为减函数，
极大值为5，极小值为-27．
点评：本题考查了三次函数单调性的判断，及应用求解极大值，极小值，是导数应用的最基本的题型，注意步骤，和列表判断是极大值还是极小值
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已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=
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