Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）²，当-1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=

 

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Answer 1

考点：函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：由已知可得f（1）=1，f（2）=2，f（3）=-1，f（4）=0，f（5）=-1，f（6）=0，根据函数的周期性可得：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）=335×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）]+f（1）+f（2），代入可得答案．

解答： 解：∵当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）²，
∴f（-3）=-1，f（-2）=0，
∵当-1≤x＜3时，f（x）=x，
∴f（-1）=-1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，
又∵f（x+6）=f（x）．
故f（3）=-1，f（4）=0，f（5）=-1，f（6）=0，
又∵2012=335×6+2，
故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）=335×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）]+f（1）+f（2）=335+1+2=338，
故答案为：338

点评：本题考查的知识点是函数的周期性，数列求和，按周期分组求和是解答的关键．