Question

9．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（-4，0）和C（4，0）顶点B在椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1上，则$\frac{sinA+sinC}{sin（A+C）}$=（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，求出椭圆的长轴及焦距长，再由正弦定理把$\frac{sinA+sinC}{sin（A+C）}$转化为三角形边的关系得答案．

解答 解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，得c=4，
则A（-4，0）和C（4，0）为椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1的两个焦点．
∵B在椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1上，
∴a+c=10，b=8．
$\frac{sinA+sinC}{sin（A+C）}$=$\frac{sinA+sinC}{sinB}=\frac{a+c}{b}$=$\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了正弦定理及椭圆定义的应用，是中档题．