Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，下面结论中正确的是

 

．
①BD∥平面CB₁D₁；
②AC₁⊥平面CB₁D₁；
③AC₁与底面ABCD所成角的正切值是

2

；
④CB₁与BD为异面直线．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：根据直线和平面平行、直线和平面垂直的判定定理可得①②正确，根据求二面角的大小的方法可得③不正确，根据异面直线定义可得④正确，由此得到答案．

解答： 解：如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，
由于BD∥B₁D₁ ，由直线和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB₁D₁ ，故①正确；
由正方体的性质可得B₁D₁⊥A₁C₁，CC₁⊥B₁D₁，
故B₁D₁⊥平面 ACC₁A₁，故 B₁D₁⊥AC₁．
同理可得 B₁C⊥AC₁．
再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC₁⊥平面CB₁D₁ ，故②正确；
AC₁与底面ABCD所成角的正切值为

CC1

AC

=

1

2

，故③不正确；
CB₁与BD既不相交，又不平行，不同在任何一个平面内，
故CB₁与BD为异面直线，故④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题主要考查求二面角的大小的方法，异面直线的判定，直线和平面平行、垂直的判定定理的应用，属于中档题．