Question

在四面体OABC中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a，OB=b，OC=c，则下列命题：
①对棱中点连线长相等；        
②不含直角的底面△ABC是钝角三角形；
③外接球半径R=

1

2

a2+b2+c2

；
④直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的外心；
⑤S²_△BOC+S²_△AOB+S²_△AOC=S²_△ABC；
其中正确命题的序号是

 

．（把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：如图所示，①对棱中点连线长可看作矩形的对角线，因此相等；
②不妨设a≥b≥c，则

a2+c2

+

b2+c2

＞a+b＞

a2+b2

，因此可得最大角A为锐角，因此为锐角三角形；
③把四面体OABC的四个顶点看作长方体的四个顶点，则外接球半径R=

1

2

a2+b2+c2

；
④直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心；
⑤V_{四面体OABC}=

1

3

×

1

2

ab×c=

1

3

h•S△ABC，而

1

2

c×

ab

a2+b2

=

1

2

h

c2+( ab a2+b2 )2

，化为h=

abc

a2b2+a2c2+b2c2

．可得S_△ABC，S²_△BOC+S²_△AOB+S²_△AOC=(

1

2

bc)2+(

1

2

ab)2+(

1

2

ac)2，化简即可判断出．

解答： 解：如图所示，
①对棱中点连线长可看作矩形的对角线，因此相等；
②不妨设a≥b≥c，则

a2+c2

+

b2+c2

＞a+b＞

a2+b2

，因此可得最大角A为锐角，因此为锐角三角形，不含直角的底面△ABC不是钝角三角形，因此不正确；
③把四面体OABC的四个顶点看作长方体的四个顶点，则外接球半径R=

1

2

a2+b2+c2

，正确；
④直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心，不是外心；
⑤V_{四面体OABC}=

1

3

×

1

2

ab×c=

1

3

h•S△ABC，
而

1

2

c×

ab

a2+b2

=

1

2

h

c2+( ab a2+b2 )2

，化为h=

abc

a2b2+a2c2+b2c2

．
∴S_△ABC=

abc

2h

，
∴S²_△ABC=

a2b2c2(a2b2+a2c2+b2c2)

4a2b2c2

=

1

4

(a2b2+a2c2+b2c2)，
S²_△BOC+S²_△AOB+S²_△AOC=(

1

2

bc)2+(

1

2

ab)2+(

1

2

ac)2=

1

4

(a2b2+a2c2+b2c2)，
∴S²_△BOC+S²_△AOB+S²_△AOC=S²_△ABC，正确．
综上可得：只有①③⑤正确．
故答案为：①③⑤．

点评：本题综合考查了由三条相邻棱相互垂直的四面体的特殊性质，考查了推理能力和计算能力，考查了空间想象能力，属于难题．