Question

在圆x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，设线段PD的中点M的轨迹为C
（1）写出点M的轨迹C方程；
（2）设直线y=kx+2与轨迹C交于A，B两点，当k为何值时，

OA

⊥

OB

？

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,轨迹方程

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆

分析：（1）设M（x，y），则P（x，2y），代入圆的方程，化简整理即可得到所求方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式大于0，韦达定理，结合向量垂直的条件：数量积为0，化简整理解方程可得k．

解答： 解：（1）设M（x，y），则P（x，2y），
代入圆P所在的方程可得：x²+4y²=4，
即有点M的轨迹C的方程为

x2

4

+y2=1；
（2）由

x2 4 +y2=1 y=kx+2

，联立整理得：
（4k²+1）x²+16kx+12=0，
△＞0即（16k）²-48（1+4k²）＞0，解得k2＞

3

4

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x1+x2=- 16k 4k2+1 x1x2= 12 4k2+1

，
又因为

OA

⊥

OB

，有x₁x₂+y₁y₂=0，
即有x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，
即（1+k²）•

12

1+4k2

-

32k2

1+4k2

+4=0，
解得k2=4＞

3

4

，
所以k=±2．
则当k为±2时，

OA

⊥

OB

．

点评：本题考查轨迹方程的求法：代入法，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．