Question

1．已知集合A=（-∞，-1）∪（3，+∞），B={x|x²-4x+a=0，a∈R}．
（Ⅰ）若A∩B≠∅，求a的取值范围；
（Ⅱ）若A∩B=B，求a的取值范围．

Answer 1

分析 构造函数令f（x）=x²-4x+a=（x-2）²+a-4，则对称轴为x=2，
（Ⅰ）由题意得B≠∅，并有A∩B≠∅，即可求出a的范围，
（Ⅱ）A∩B=B，则B⊆A，分类讨论，即可求出a的范围．

解答 解：令f（x）=x²-4x+a=（x-2）²+a-4，则对称轴为x=2，
（Ⅰ）由题意得B≠∅，∴△=16-4a≥0，解得a≤4…①
∵A∩B≠∅，又∵A=（-∞，-1）∪（3，+∞），
∴f（3）＜0，解得a＜3…②，
由①②得，实数a的取值范围为（-∞，3）．
（Ⅱ）∵A∩B=B，
∴B⊆A，当△=16-4a＜0，即a＞4时，B=∅，这时满足A∩B=B，
当△=16-4a≥0时，B≠∅，此时a≤4…③，
∵B⊆A，
∴f（-1）＜0，解得a＜-5…④，
由③④，得a＜-5．
综上所述，得实数a的取值范围为（-∞，-5）∪[4，+∞）．

点评 本题考查集合的化简与运算，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．