Question

16．已知函数f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx，且a＞0
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围；
（2）当a=1时，求函数f（x）在[1，e]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导函数，把函数f（x）在[1，+∞）上为增函数转化为导函数大于等于0恒成立问题，再转化为关于正实数a的不等式问题即可求出正实数a的取值范围；
（2）先求出函数的导函数，进而求出其在[1，e]上的单调性即可求f（x）在[1，e]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx，
∴f′（x）=$\frac{ax-1}{{ax}^{2}}$（a＞0），
∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数
∴f′（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，
∴ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，
即a≥$\frac{1}{x}$对x∈[1，+∞）恒成立，
∴a≥1；
（2）当a=1时，f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，x∈[$\frac{1}{e}$，e]，
若x∈[$\frac{1}{e}$，1）则f′（x）＜0，若x∈（1，e]，则f′（x）＞0，
故x=1是f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上的惟一极小值点，也是最小值点，
故f（x）_min=f（1）=0；
∵f（$\frac{1}{e}$）=e-2＞$\frac{1}{2}$，f（e）=$\frac{1}{e}$＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上最大值为e-2，
综上知函数f（x）区间[$\frac{1}{e}$，e]上最大值是e-2，最小值是0．

点评 本题第二问考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．