Question

20．设数列{a_n}满足a₁=2，${a_{n+1}}-{a_n}={2^n}$；数列{b_n}的前n项和为S_n，且${S_n}=\frac{1}{2}（3{n^2}-n）$．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）把数列{a_n}和{b_n}的公共项从小到大排成新数列{c_n}，试写出c₁，c₂，并证明{c_n}为等比数列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，对于数列{a_n}，由递推公式可得a_n=[（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）]+a₁，计算即可得数列{a_n}的通项公式，对于数列{b_n}，有S_n公式表示出${S_{n-1}}=\frac{1}{2}[3{（n-1）^2}-（n-1）]（n≥2）$，两式相减可得b_n=3n-2，验证b₁即可得答案；
（2）根据题意，由数列{a_n}和{b_n}的通项公式分析两个数列的相同项，可得新数列{c_n}的通项公式，由等比数列的定义分析可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由已知，当n≥2时，a_n=[（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）]+a₁=（2^n-1+2^n-2+…+2）+2=2ⁿ
又因为a₁=2，
所以数列{a_n}的通项公式为${a_n}={2^n}$．
因为${S_n}=\frac{1}{2}（3{n^2}-n）$，所以，${S_{n-1}}=\frac{1}{2}[3{（n-1）^2}-（n-1）]（n≥2）$
两式做差可得b_n=3n-2，且b₁=S₁=1也满足此式，
所以b_n=3n-2；
（Ⅱ）由${a_n}={2^n}$，b_n=3n-2，可得c₁=4=a₂=b₂，c₂=a₄=b₆=16．
假设${c_n}={b_m}={a_k}={2^k}$，
则3m-2=2^k．
所以${a_{k+1}}={2^{k+1}}=2•{2^k}=2（3m-2）=3（2m-1）-1$，不是数列{b_n}中的项；
${a_{k+2}}={2^{k+2}}=4•{2^k}=4（3m-2）$=3（4m-2）-2，是数列中的第4m-2项．
所以c_n+1=b_4m-2=${a_{k+2}}={2^{k+2}}$，
从而$\frac{{{c_{n+1}}}}{c_n}=\frac{{{2^{k+2}}}}{2^k}=4$．
所以{c_n}是首项为4，公比为4的等比数列．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，涉及等比数列的确定，关键是求出两个数列的通项公式．