Question

在极坐标系中，Ox为极点，点A（2，

π

2

），B（2

2

，

π

4

）．
（Ⅰ）求经过O，A，B的圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆D的参数方程为

x=-1+acosθ y=-1+asinθ

（θ是参数，a为半径），若圆C与圆D相切，求半径a的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（ I）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求出过三点O，A，B的圆的普通方程，再化为极坐标方程；
（ II）把圆D的参数方程化为普通方程，求出圆心距|CD|，当圆C与圆D相切（内切或外切）时，求出a的值．

解答：解：（ I）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，
∴点O（0，0），A（0，2），B（2，2）；
过O，A，B三点的圆C的普通方程是
（x-1）²+（y-1）²=2，
即x²-2x+y²-2y=0；
化为极坐标方程是ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，
即ρ=2

2

cos（θ-

π

4

）；
（ II）圆D的参数方程

x=-1+acosθ y=-1+asinθ

化为普通方程是（x+1）²+（y+1）²=a²；
圆C与圆D的圆心距|CD|=

(-1-1)2+(-1-1)2

=2

2

，
当圆C与圆D相切时，

2

+a=2

2

，或a-

2

=2

2

，
∴a=

2

，或a=3

2

．

点评：本题考查了参数方程与极坐标方程的应用问题，解题时可以把参数方程和极坐标方程化为普通方程，再来解答问题，是基础题．