Question

如图，在边长为1的等边△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点，若A关于直线DE的对称点A₁恰好在线段BC上，

（1）①设A₁B＝x，用x表示AD；②设∠A₁AB＝θ∈[0º,60º]，用θ表示AD
（2）求AD长度的最小值．

Answer 1

(1) y＝ (0≤x≤1)， AD＝·＝  θ∈[0º,60º]
(2) AD长度的最小值为2－3 当且仅当时取得最小值.

试题分析：(1)设A₁B＝x，AD＝y，在△A₁BD中，BD＝1－y，A₁D＝AD＝y，有余弦定理得
y²＝(1－y)²＋x²－2x(1－y)cos60º＝(1－y)²＋x²－x＋xy∴x²－x＋xy－2y＋1＝0
y＝ (0≤x≤1)，
设∠A₁AB＝θ∈[0º,60º]，则在△A₁BA中，由正弦定理得：
＝＝ ∴AA₁＝，
∴AD＝·＝     θ∈[0º,60º]
(2)y＝ (0≤x≤1)，令t＝2－x∈[1,2]∴y＝＝t＋－3≥2－3
当且仅当t＝，即x＝2－时等号成立．AD长度的最小值为2－3．
AD＝·＝    θ∈[0º,60º]
∵4sin(θ＋60º)·cosθ＝2sinθ·cosθ＋2cos²θ＝sin2θ＋ (1＋cos2θ)＝sin2θ＋cos2θ＋＝2sin(2θ＋60º)＋
∵θ∈[0º,60º]∴2θ＋60º∈[60º,180º]∴sin(2θ＋60º)∈[0,1]
∴4sin(θ＋60º)·cosθ∈[,2＋]∴AD≥＝ (2－)＝2－3∴AD长度的最小值为2－3 当且仅当时取得最小值.
点评：本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力