Question

4．已知正四面体ABCD的棱长为2，E为棱AB的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为$\frac{1}{2}$π．

Answer 1

分析 根据题意，将四面体ABCD放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，过E点的截面到球心的最大距离，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值．

解答 解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示
可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，
∵正四面体ABCD的棱长为2，
∴正方体的棱长为$\sqrt{2}$，
可得外接球半径R满足2R=$\sqrt{6}$，解得R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，
截面圆的面积达最小值，
此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，
可得截面圆的半径为r=$\sqrt{\frac{6}{4}-1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得到截面圆的面积最小值为S=πr²=$\frac{1}{2}$π．
故答案为：$\frac{1}{2}$π．

点评 本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值．着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题．