Question

16．设M，N分别为双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左右焦点，若P在双曲线上，且$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=0，则|$\overrightarrow{PM}$|+|$\overrightarrow{PN}$|=$2\sqrt{19}$．

Answer 1

分析 根据双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1求出左右焦点坐标，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=0，说明∠MPN=90°，△MNP是直角三角形，利用双曲线的定义即可求解．

解答 解：由题意：双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
可得：a=1．b=3，c=$\sqrt{10}$
M，N分别为双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左右焦点，
∴M（-$\sqrt{10}$，0），N（$\sqrt{10}$，0），|MN|=2$\sqrt{10}$．
又∵P在双曲线上，且$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=0，
∴∠MPN=90°，△MNP是直角三角形．
设|NP|=m，|MP|=n，
m²+n²=（2c）²=40，
根据双曲线的定义可得|m-n|=2a=2．
则有（m-n）²=4，
解得：mn=18，
所以：|$\overrightarrow{PM}$|+|$\overrightarrow{PN}$|=m+n=$\sqrt{（m-n）^{2}+4mn}$=2$\sqrt{19}$．
故答案为$2\sqrt{19}$．

点评 本题主要考查了双曲线的定义和简单性质的运用能力．属于基础题．